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Los penales y la teoría de Nash

En el fútbol muchas veces se dice que los penales "son una lotería". Sin embargo, muchos estudiosos no opinan lo mismo. Los matemáticos, incluso, consideran que los penales son la mejor manera de comprender la teoría de juegos de Nash.

El primero en desarrollar la teoría de juegos fue el matemático húngaro-estadounidense John von Neumann, en la década del '40. Pero poco después fue John Nash, matemático estadounidense, estudiante y profesor en la universidad de Princeton y Premio Nobel en 1994, quien profundizó su estudio y sus aplicaciones, contándose entre sus mayores aportes a la ciencia de los números la famosa “Teoría del Equilibrio”. La Teoría del Equilibrio de Nash es un concepto que se sostiene en dos supuestos iniciales: el primero es que las personas son racionales, lo que implica que buscan maximizar su utilidad usando las estrategias y cálculos que sean necesarios para ello; el segundo es que se sobreentiende la racionalidad común: es decir, en un sistema dado, A sabe que B también es racional, B sabe que A es racional, A también sabe que B sabe que A es racional, y así siguiendo.

De esto se deduce que, si nadie cambia, si nadie se equivoca o si nadie arriesga, el sistema mencionado será un sistema de suma cero. O sea: en un juego determinado, si cada uno tiene su estrategia y conoce la estrategia de su rival y si ninguno de los dos cambia su estrategia, la suma cero se impone salvo que las diferencias técnicas sean evidentes y lleven a alguno a cometer errores notables. Cambiar la estrategia implicaría deshacer la “suma cero” y eso sería un riesgo. Si ninguno cambia, ambos se neutralizan; pero si uno asume el riesgo de cambiar, la “suma cero” se rompe, es decir: alguien ganaría (sería recompensado por cambiar si el otro no cambió o por no cambiar si el otro cambió) y alguien perdería (sería perjudicado por no haber cambiado si el otro jugador cambió, o por cambiar si el otro no cambió), todo dependiendo de las características del juego. La clave en la teoría de juegos es el análisis de cómo interactúan las estrategias de un protagonista y otro.

Natxo (Ignacio) Palacios-Huerta, un matemático especializado en economía nacido en Vizcaya, catedrático en Economía de la London School of Economics, interpretó, a principios de la década de '00, que precisamente eso es lo que ocurre en los penales. En este caso, la estrategia de uno depende de lo que piense que va a hacer el otro. Así, Palacios-Huerta postuló que, en ese duelo entre pateador y arquero, si uno de ellos tiene altas posibilidades de conocer la estrategia del otro (que en este caso significa que el arquero sepa hacia dónde va a patear el ejecutante o que el ejecutante sepa hacia dónde se va a tirar el arquero) el equilibrio de Nash puede romperse. Pero claro, para eso hay que estar seguro, o casi, de que uno sabe lo que va a hacer el otro, se trate del pateador o se trate del arquero. Entonces es cuestión de investigar, acopiar datos, mirar y mirar videos buscando patrones de conducta que se repitan lo suficiente como para obtener datos “estadísticamente significativos” sobre la estrategia del rival. La certeza completa nunca se conseguirá, pero sí una aproximación estadísticamente razonable.

“Fulanito patea hacia la derecha –piensa un arquero–... Pero sabe que yo lo sé... Pero yo sé que él sabe que yo lo sé...” y así se puede seguir indefinidamente.

Palacios-Huerta estudió inicialmente más de 5.000 penales en diferentes torneos (Mundiales, Champions League, Eurocopa de Naciones, Europa League, Copa Libertadores), lo que le permitió conocer muy bien las conductas habituales de muchos pateadores y de muchos arqueros. Además de eso, la acumulación de datos obtenidos le permitió establecer ciertas pautas, y de acuerdo a su evaluación de tan extenso número de casos, extrajo algunas conclusiones valiosas sobre las definiciones por tandas de penales. Veamos algunas de ellas:

Uno: entre el 75 y el 80% de los penales se transforman en gol. Dos: en el 60% por ciento de los casos, en una tanda de definición por penales gana el equipo que patea en primer lugar (esto es lo mismo que decir que el equipo que patea primero tiene un 20% más de posibilidades de ganar que el equipo que ataja primero). Tres: el 60% de las veces, el ejecutor patea hacia su “lado natural” (es decir, el que es diestro patea hacia la mano derecha del arquero y el que es zurdo hacia la mano izquierda del arquero; en otras palabras, lo natural es “cruzar” el remate). Cuatro: el 60% de las veces el arquero se tira hacia su “lado natural” (es decir, los diestros hacia su derecha, los zurdos hacia su izquierda). Cinco: los jugadores suplentes tienen un índice de efectividad 7% mayor a los jugadores que han jugado todo el partido. Seis: en una tanda de definición por penales, después del quinto penal, el nivel de eficacia de los pateadores disminuye un 22%. Siete: si el jugador que patea se detiene en su carrera antes de impactar la pelota, es más probable que patee hacia su lado natural.

Esto último ocurrió, por ejemplo, en el tercer penal de la tanda de la final de la Champions League de 2008 entre el Manchester United y el Chelsea, en Moscú. Y nada menos que con Cristiano Ronaldo, que se acercó a la pelota, se frenó, y Peter Cêch, arquero del Chelsea, que tenía este dato, atajó el penal. Chelsea pudo ser campeón en esa definición, pero ocurrieron dos cosas: en el quinto penal, Terry, capitán del Chelsea, se resbaló al patear y la tiró afuera, quedando la serie igualada. Y en el séptimo penal, Nikolas Anelka, un díscolo jugador (a pesar de ser centrodelantero lo pusieron a patear en séptimo lugar, por algo será) decidió no hacer caso a las recomendaciones, haciendo todo lo contrario a lo que se le pidió: pateó a su lado natural y a media altura. Podría haber sido gol si hubiera pateado más fuerte o más al ángulo, pero también si hubiera pateado hacia el otro lado, como le habían recomendado.

Stephen Hawking, el extraordinario científico, estudió en 2014 el asunto de los penales, aunque era algo totalmente ajeno a su campo. Sus conclusiones coincidieron bastante con las de Palacios-Huerta, pero agregó algo más: uno, si la pelota es dirigida a alguno de los dos ángulos superiores, el porcentaje de efectividad sube a 85%; dos, el porcentaje de efectividad aumenta si se impacta la pelota con la cara interna del pie; tres, la efectividad disminuye si se toman menos de tres pasos de carrera; cuatro, la efectividad más alta al patear un penal corresponde a los delanteros.

Otra cuestión relacionada con los penales es su influencia en el resultado final de un partido; esto está directamente relacionado con la eterna discusión que se genera cada vez que se sanciona un penal. En un estudio realizado entre 2003 y 2006 en el que se incluyeron varias ligas de Europa, los resultados mostraron que en partidos en los que no se cobró un penal, los equipos locales ganaron el 46,7 % de los partidos y los visitantes el 27,2 %; y en partidos en los que sí se cobró un penal, los locales ganaron el 49,6 % y los visitantes el 22,4%. La conclusión parece clara: los porcentajes apenas variaron entre un 3 y un 5%, lo cual parece contradecir lo que solemos pensar intuitivamente pero sin fundamento.

El duelo entre el pateador y el arquero tiene muchos condimentos; algunos de ellos son de tipo técnico, pero sobreentendiendo que en el fútbol profesional esos aspectos se desarrollan con eficiencia, el aspecto mental se hace netamente predominante. “¿Qué sabrá sobre mí? ¿Hacia qué punta pateé el último penal? ¿Cambio o hago lo mismo que la última vez? ¿Hacia dónde se tira él habitualmente?”, son todas cosas que piensa el ejecutor. Y a veces el punto no es tanto si las piensa o no, sino “cuándo” las piensa... Si ya tiene resueltas esas cuestiones cuando sabe que deberá patear, su cabeza puede dedicarse de ahí en adelante simplemente a concentrarse y visualizar el gesto técnico a realizar; si lo piensa mientras camina antes de colocar la pelota en el punto del penal, quedará menos tiempo para eso y estará más a merced de estímulos que provengan del entorno y de su rival, el arquero; si simplemente lo decide ya en plena carrera hacia la pelota, entonces la intuición aleja lo racional de la decisión final y el control sobre la situación es menor, ya que se basa más en la repentización, que es un arma de doble filo. Mirar al arquero o no mirarlo, entrar en un duelo verbal, mirar sus gestos... en fin, son muchos estímulos que hay que ordenar en la cabeza (o echarlos de ella) en muy poco tiempo.

El arquero tiene, estadísticamente, menos probabilidades de éxito (20 a 25%, como hemos visto), así que tiene mucho menos que perder. Buscará el contacto visual, hará señas, hablará, sonreirá, mostrará un lenguaje corporal lo más dominante y confiado posible, le indicará con su brazo al pateador hacia dónde debería ir el disparo, estudiará la postura del ejecutante. A lo mejor espera hasta el final para decidir hacia dónde tirarse. Hasta la colocación del pie de apoyo en el último paso del shoteador hay tiempo, aunque quizá entonces ya sea tarde para llegar a la pelota si el penal es bien ejecutado...

Una mezcla de ese juego de tensiones mentales y de la aplicación de la teoría de Nash fue más que evidente en la definición de los cuartos de final del Mundial de 2006 entre Alemania y Argentina. El arquero del seleccionado alemán, Jens Lehmann, se dirige al arco con un papelito dentro de la media. En ese papelito, con membrete del hotel en el que se hospedaba el seleccionado alemán (“Schloshotel, Grünewald”), el entrenador de arqueros, Andreas Köpke, le ha anotado las tendencias estudiadas de siete jugadores argentinos (Riquelme, Crespo, Heinze, Ayala, Messi, Aimar y Maxi Rodríguez). Sin embargo, sólo dos de esos siete jugadores argentinos llegaron a patear. Por el otro lado, el arquero argentino, Leonardo Franco, ha entrado al partido veinte minutos antes del final, reemplazando al lesionado Roberto Abbondanzieri. El pobre Franco (es un decir) se encontró en un terreno desconocido, como pudo comprobarse. No tenía ningún conocimiento sobre cómo pateaban los jugadores alemanes.

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El arquero alemán Jens Lehmann  lee las indicaciones en un machete antes de la serie de penales contra  la Argentina, en la Copa de 2006.
El arquero alemán Jens Lehmann lee las indicaciones en un machete antes de la serie de penales contra la Argentina, en la Copa de 2006.

Veamos la secuencia:

Empieza pateando Alemania (ya parte con un 20% más de chances de ganar, según los estudiosos del tema, como hemos visto). El primero en patear es Oliver Neuville: diestro, suplente que ingresó después (7% más de chances de éxito), patea a la derecha (es decir, cambia “la lógica”), muy fuerte, mientras Franco sí hace “su” lógica y se tira hacia su derecha, es decir, al lado opuesto a donde fue el disparo. Se rompe la suma cero, gol. Luego patea Julio Cruz para Argentina (también había entrado como suplente); Lehmann mira el papelito y no encuentra a Cruz en él. Pero Cruz no sabe que no está en la lista, claro. Ya parece romperse el postulado “él sabe que yo sé que...”. Cruz patea muy bien, fuerte, alto y al ángulo (aumentan las chances), al lado “lógico”: gol, inapelable. 1-1. Patea Michael Ballack: al lado natural, fuerte y a media altura. Gol. Si Franco hubiera hecho la lógica, hubiera atajado el penal. Pero por alguna razón decidió cambiar, se tiró hacia el lado ilógico, rompió la suma cero y ahora es 2-1. Patea Roberto Ayala. Defensor. El papelito de Lehmann dice: “espera mucho tiempo, carrera larga, a su derecha”. Y así fue. Ayala nunca patea fuerte, Lehmann hace los deberes y ataja el penal. Alemania en ventaja. Ahora le toca a Lukas Podolski, delantero, goleador, zurdo. Hace la lógica y cruza el remate. Gol. Franco, nuevamente, elige tirarse hacia el otro lado. 3-1. Llega Maxi Rodríguez. El papelito de Lehmann dice “izquierda”. Y Maxi efectivamente patea hacia la izquierda, pero muy fuerte y muy angulado, imposible atajarlo, aunque Lehmann se tira, correctamente, hacia la punta prevista. Esto demuestra que si el penal es pateado con una técnica perfecta el pateador debería sobre un arquero con la técnica perfecta, debido a que la velocidad de la pelota y la dirección óptima de la misma superan la velocidad del arquero. La cosa queda 3-2. Ahora va Tim Borowski, diestro, otro suplente, no cruza el disparo. Gol. Franco decide volver a la lógica... justo ahora, así que queda del otro lado. No ha acertado en ninguno de los cuatro penales. 4-2. Es el turno de Esteban Cambiasso, mediocampista defensivo, zurdo. No está anotado en el papelito. Pero el papelito cumple su función, porque Lehmann lo consulta en cada tiro y los ejecutantes no saben qué es lo que sabe Lehmann. Lehmann piensa: “si no está en la lista que me pasaron significa que no es un pateador habitual, así que probablemente querrá asegurar su disparo”. Y tiene razón; elige de acuerdo a la lógica del ejecutante, no de la suya propia, que sería tirarse hacia su lado derecho. Rompe la suma cero a su favor y ataja el penal. 4-2, serie definida. Alemania pasa a semifinales, Argentina a casa.

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El papelito con los ocho apellidos argentinos, tres tachados porque ya no podrían patear: Riquelme, Crespo y Messi.
El papelito con los ocho apellidos argentinos, tres tachados porque ya no podrían patear: Riquelme, Crespo y Messi.

Palacios-Huerta fue contratado por la Federación de fútbol de Holanda en el Mundial de 2010. Los arqueros holandeses recibieron un extenso dossier con la información detallada sobre todos los ejecutores españoles, los habituales y los no habituales, antes de jugar la final del Mundial. Vasco al fin, al parecer eso no influyó en Palacios-Huerta a la hora de aceptar el trabajo. Holanda quería los penales, los deseaba, confiaba en ganar en esa instancia. Pero el maravilloso Andrés Iniesta definió el partido y el torneo con su magia, convirtiendo el gol del triunfo faltando 4 minutos para terminar el tiempo suplementario. Y España fue campeón mundial.

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